ORIGEN

2. El Origen del Álgebra.

Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas cartográficas. Entre las tablillas babilónicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de raíces cuadradas y cúbicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuación cuadrática. Un examen cuidadoso de las tablillas babilónicas muestra claramente que mediante esos cálculos sus autores no sólo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros más abstractos y artificiales, y que lo hacían para desarrollar técnicas de solución y ejercitarse en su aplicación.

Uno de ellos, en términos modernos, dice: “He sumado el área del cuadrado con los dos tercios del lado del cuadrado y el resultado es 7/12. Se requiere hallar la longitud del lado del cuadrado”. Hasta la mitad del siglo XIX, el álgebra se ocupó principalmente de resolver ecuaciones de este tipo, puede decirse que fue en Babilonia donde tuvo su origen esta ciencia.


Fueron los árabes quienes le dieron a la nueva ciencia de plantear y resolver ecuaciones un nombre: aljabr. La nueva civilización que surgió en la península arábiga en la primera mitad del siglo VII, habría de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo habitado de entonces. Menos de un siglo después de la captura de La Meca por Mahoma en el año 630 d.C., el ejército islámico había convertido a las tribus politeístas del Medio Oriente y usurpado al imperio bizantino los territorios de Siria y Egipto.      La conquista de Persia se completó hacia el año 641 d.C. Los sucesores de Mahoma, los califas, primero establecieron su capital en Damasco pero, tras cien años de guerras, el califato se dividió en varias partes.


La fundación en 766 d.C. por parte del califa al-Mansur de Bagdad como la nueva capital de su califato, significó el comienzo de una etapa más tolerante del islamismo y permitió el desarrollo intelectual de sus habitantes. Su sucesor, el califa Harun al — Rashid, quien gobernó entre 786 y 809, estableció en Bagdad una biblioteca en la que se reunieron manuscritos provenientes de varias academias del Cercano Oriente, algunas de las cuales habían sido establecidas por miembros de las antiguas academias de Atenas y Alejandría que tuvieron que cerrarse a raíz de la persecución de los romanos.


Muhammmad ibn Musa al- Khwarizmi, un miembro del Bayal al-Hikma fue el autor de varios tratados sobre astronomía y matemáticas, entre ellos uno de los primeros tratados islámicos acerca del álgebra. Fue gracias a la traducción al latín de su libro acerca del sistema de numeración hindú, Algorithmi de numero indorum. Su obra más importante, sin embargo, fue su tratado de álgebra que, con el título Ílisab al—/abra wal— muqabala (La ciencia de la reducción y confrontación) probablemente significaba la ciencia de las ecuaciones.


El Álgebra de Muhammad contiene instrucciones prácticas para resolver ciertas ecuaciones lineales y cuadráticas. Otro importante algebrista árabe fue Omar Khayyam (1048-1131), mejor conocido en Occidente por su Rubaiyat, una colección de unos 600 poemas. Fue él el primero en hacer una clasificación sistemática de la ecuaciones cúbicas y resolver algunas de ellas.


La contribución de los algebristas islámicos de los siglos Xl y XII en el desarrollo del álgebra habría sido más notoria si no hubiera tardado tanto en ejercer su influencia en Europa, donde, un poco después, el álgebra habría de consolidarse definitivamente.

Teoría de ecuaciones

Igualdad matemática: Una igualdad matemática es una relación de comparaqción entre dos expresiones matemáticas; mediante el signo"=", la cual indica que éstas tienen el mismo valor numérico, o que deben adquirir el mismo valor numérico.

Partes de un igualdad matemática
Siendo A y B dos expresiones matemáticas, se tiene que: A=B; es una igualdad matemática, donde:
=, signo que expresa la igualdad; A, primer miembro; B, segundo miembro

Clases de Igualdad
a)Igualdad absoluta o identidad: Es aquella que se satisface o verifica para cualquier valor del CVA asignado a la variable.Para distinguirlas de otras, ésta igualdad se le denota mejor "="

b)Igualdad Relativa o ecuación: Es aquella que se satisface sólo para determinados valores del CVA que se asigne la variable

Solución de una ecuación: Se denomina así al valor de la variable para el cual, luego de reemplazarla en aquella, se obtiene una igualdad numérica; es decir, la igualdad satisface.

Conjunto solción de una ecuacion: Es aquel conjunto que reúne a todas las soluciones de una ecuacion se le denota por Ω. El conjunto solución de una ecuación siempre es subconjunto de su CVA.

Clasificación de las ecuaciones: Existen distintos criterios para realizar la clasificación de una ecuación. Éstos son:
1.Ecuación compatible: Cuando tiene solución
    a) Compatible Determinada: Si se pueden enumerar sus soluciones
    b) Compatible Indeterminada: Es aquella que tiene un número ilimitado de soluciones.
2.Ecuación incompatible: Cuando no admite solución. A esta ecuacion también se le llama ABSURDA O INCONSISTENTE.  x³+6=7x

II. Según la naturaleza de los miembrosa) Ecuación numérica: Se denomina así a aquella ecuación en donde la única letra que aparece   es  la que representa a la variable.

b) Ecuación Literal: Es aquella donde, además de la representa a la variable, aparecen más letras. Convencionalmente es una ecuación literal, “x” es la que representa a la variable y las otras letras se deben tomar como constantes paramétricas

c) Ecuación polinomial: Es aquella donde los miembros que la forman son funciones polinomiales. El CVA de una ecuación polinomial es el conjunto de los numeros complejos

d)Ecuación Fraccionaria:  o especificamente racional fraccionaria, es aquella cuyos miembros son funciones racionales, y al menos uno de ellos además es fraccionaria. El CVA de una ecuación fraccionaria está dado por números complejos, con excepción de aquellos valores que anulan a los denominadores.

e) Ecuación Irracional: Es aquella donde al menos uno de los miembros que la forman es una función irracional. Esta clase de cuacion merece especial cuidado por varias razones. Su CVA es un subconjunto de R. a no ser que se indique otra cosa.

Ecuaciones Equivalentes: Dos ecuaciones se dicen que son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. En particular dos ecuaciones son equivalentes si no tienen solución.

Factorización

Introducción:Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemático estuvo presente siempre la teoría de los números, los cuales se apoyan en la parte algebraica. Como una necesidad para facilitar la resolución de las ecuaciones polinómicas surgen diversos procedimientos de transofrmación de polinomios a los cuales se les denomina factorización, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menos grado. El término factorización proviene de la palabra factor. Es decir, en factorización vamos a expresar un polinomio como una multiplicación indicada de factores primos.

Concepto:
Proceso inverso de la multiplicación, por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentada como el producto de dos o más factores algebraicos.
Factor o divisor algebraico:
Un polinomio no constante es factor de otro cuando divide exactamente, por lo cual también es llamado divisor.
Factor primo racional:
Llamamos así a aquel polinomio que no se puede descomponer en otros factores racionales dentro del mismo campo.

Métodos de factorización
1- Método de factor común-agrupación
Factor común monomio: Consiste en extraer la parte que se repite en todos los términos, para lo cual se extrae la expresión repetida elevada a su menor exponente
Factor común polinomio: Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más términos. Por lo general se encuentra luego de agrupar términos y bajo los siguientes criterios:
-De acuerdo al número de términos
-De acuerdo a los coeficientes de los términos



2- Método de las identidades: Aplicacion de identidades notables para estructuras conocidas.
- Trinomio cuadrado perfecto
- Diferencia de cuadrados
- Suma o diferencia de cubos

3- Aspa simple: Se utiliza para factorizar expresiones trinomias o aquellas que adopten esa forma


4- Aspa doble: Se utiliza para factorizar los polinomios de la forma
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F        

5- Aspa doble especial: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma
Ax⁴+ Bx³+ Cx²+Dx+E
Se descompone el término de mayor grado y el término idependiente; se calcula la suma del producto aspa. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomio

6- Método de los divisores binomios: Con este método se busca uno o más factores binomios primos.


7- Método de sumas y restas: Se inspecciona el dato, comparándolo con alguna identidad conocida; la mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos, para constituir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato; naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen. Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.   

Productos Notables

Es el producto que al adoptar cierta forma particular, evita que se efectué la operación de multiplicación escribiendo directamente el resultado.
Los principales productos notables son:

-Trinomio cuadrado perfecto: El desarrollo de un binomio al cuadrado nos da el cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Identidades de Legendre
             
Identidad de Lagrange


-Diferencia de cuadrados: El producto de dos binomios, uno que presenta la suma de 2 expresiones y el otro la diferencia de las mismas expresiones, es el cuadrado de la primera, menos el cuadrado de la segunda.


-Desarrollo de un trinomio al cuadrado: Al desarrollar un trinomio al cuadrado se obtiene la suma de cuadrados de los tres términos, más el doble de la suma de los productos tomados de dos en dos (productos binarios).


- Multiplicación de binomios con un término en común: Al multiplicar dos binomios con un término en común al cuadrado, más el producto de la suma de no comunes por el común, más el producto de no comunes, es decir:


- Desarrollo de un binomio al cubo: Al desarrollar un binomio al cubo se obtiene: el cubo del primer término, más el producto del triple del primero al cuadrado por el segundo, más el producto del primero por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo término.

Símbolos y Términos

4.
Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas. Los números son, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.

Operaciones y agrupación de símbolos

La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico. Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }. Ejemplo:

                                                            – (3x – 1) [2x – 1] {5x – 3} 

Presencia del paréntecis dentro de otros:

                   – {8x – [x – 4(3 – x) + 1]} 

Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:). En el caso de la multiplicación, el signo `×' normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a · b. Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c. La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones. Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.

Prioridad de las operaciones

Primero se hacen las multiplicaciones, después las divisiones, seguidas de las sumas y las restas. Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.

Otras definiciones

Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; la parte numérica de un término se denomina coeficiente.

Segú el número de términos que posee una expresión algebraica, se denomina monomio, binomio y trinomio.

Monomio: 1 término
                   
                  5x ;  xyz3  ; ab/c

Binomio : 2 términos
                           
                  2x + 3y  ;  a² – 2b²   

Trinomio: 3 términos

                  3x + 5y – 7 ;  a + b –c                                                                                


Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos, cuyos coeficientes literales contienen exponentes de números enteros.
Por ejemplo, un polinomio de n-ésimo grado en su forma general se expresa como:

Forma general de un polinomio de una variable: 

                                          P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ....anxn

a) x² + 2x – 1 
b) x + 3
c) x³ – 2x + 1

No son polinomios cuando presentan exponentes fracionarios: 

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado, es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0. Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.

Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.

Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1.
Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3.

Historia

3. Historia del Álgebra.

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al- abr que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas.
A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.

 El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII.
A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación.

Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número (matemáticas): Números complejos).

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX.

Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

Introducción

1. Introducción al álgebra:

Álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.